“数学流行病学”简介
黄森忠(南开大学智英健康数据研究中心)
传统上,“数学流行病学”归入到“生物数学”范畴里(参见[AM1991]和[Murray1993])。它是用数学的方法研究流行病的一个医学和数学的交叉学科。
自第二次世界大战后,在国际上每次发生的流行病期间,都能看到由WHO(世界卫 生组织)和CDC(美国国家疾病预防及控制中心)主导的数学模型方面的结果对于抗击灾 疫方面的指导. 最近的例子是WHO和CDC的数学模型对终止2014年初至2016年初集中在西非的伊波拉出血热症的贡献[WHO2014, CDC2016]。
在国内,正是2003年的萨斯(SARS,亦称非典)使人们特别关注到了数学模型方面的 结果在抗击灾疫方面的指导意义[Huang2008, Huang2016],并由此建立了由中国CDC主导的“国家传染病自动预警系统”[杨维中等2010]。
数学流行病学的起源可以追溯到Kermack & McKendrick[KM1927]在1927年发表的这方面的第一篇论文。在这个学科近一百年的发展里,最早起主要推动作用的是天花的灭绝(1979年10月26日由世界卫生组织宣布)–它给数学家和医学家们提出了个很重要的问题,就是如何用数学研究方面的结果去改善并指导预防药物的研制. 而2003年新的人禽病毒萨斯的突然出现和新世纪以来各种计算机病毒灾难的不断爆发,则给数学家和计算机专家们提了一个新的课题: 交互网络为载体的信息传播模型下的各种(人禽的和机器的)病毒预防及控制。
数学建模的设计及目的 各种病毒(人禽及计算机网络病毒等)的传播都可以归类为以交互网络为载体的一种信息传播。在传播过程中,信息载体通常历经如下四种状态:
我们做数学建模的总归目的,有如下两个重点:
(1) 数学模型的研究: 给出信息载体(病毒)传播的精确数学描述,以确认其基本性质,为控制直至消灭病毒提供大范围的数学依据(如消灭某种传染病,其免疫药效应达到的高度)。
(2) 数值模拟预测: 通过将模型最佳拟合于实际采集到的数据的方法,估算病毒的传染病学意义上的各项指标(如潜伏期和传染期的长短,基本再生指数的大小等);以及在一种传染病正流行的情况下,提供适当的控制对策(如隔离可疑载体的范围等),并即时评估公共卫生系统必须达到的效率高度,以便尽快控制住疫情的进一步扩展。反过来,这个数学模拟也可以用于评估公共卫生系统在控制疫流(如2003年集中在东南亚的萨斯,和2014年初至2016年初集中在西非的伊波拉出血热症)方面最终达到的效率,作为应对今后可能出现的疫流的参考[Huang2016, Huang2016b]。
数学流行病学术语及记号定义
易感染态(S, susceptible): 个体处于病源的辐射范围内。
潜伏态(E, exposed): 个体已被病源感染,但症状尚不明显和通常不具传染性。
潜伏期: 个体处于潜伏态的长短。
传染态(I, infectious): 个体已具传染性,那些症状明显的个体被称为典型传染者(symptomatic infectives). 但也有个体无明显的症状,却已备传染性–这些个体被称为非典型传染者(asymptomatic infectives)。
传染期: 个体处于传染态的长短。
康净态(R, recovered/removed): 个体或康复,或因死亡或自我禁闭或被隔离等等因素而处于一种无传染性的净置状态. 但康复者未必能获得对该病毒的完全免疫力。 所以,这些个体可能再次处于病源的辐射范围内,即R → S. 国内同行通常将recovered/removed直译成“康复或移除”. 这里的“移除”是种较婉转的说法,它实际上指的是染病个体或因亡,或因自我禁闭,或因被隔离等等,最后达到失去传染性,即“净”的状态. 因之,我们选用“康净态”来翻译recovered/removed. 南开大学校友著名诗人贾海燕女士建议将它译成“净愈态”,当也是个很合适的选择. (在此,作者要特别感谢南开大学的诸多同学校友在确定recovered/removed译法时的热情参与. )
τ : 整体潜伏期的平均值(mean incubation period)
σ: 整体传染期的平均值(mean infectious period)
β: 内在平均传染率(intrinsic mean infection rate)
R0: 基本再生数(basic reproductive/reproduction number). R0是数学流行病学的一个最基本的指标,关系到灾疫控制的难易。 通常的定义式是R0=β×σ. 但许多时候,它的算式是由相应模型的稳定性理论决定,故非常复杂.
2θ: 非典型传染者的占比(proportion of asymptomatic infectives)
VES: 疫苗抗感染效率(vaccine efficacy against susceptibility)
VEI : 疫苗降传染效率(vaccine efficacy against infectiousness)
rVE: 真实的疫苗效率(real vaccine efficacy)
MV (mass vaccination): 全民接种疫苗
TV (traced vaccination): 追踪接种疫苗
追控病源措施: 接触追踪(contact tracing),隔离和禁闭(quarantine, isolation)
SSEs (superspreading events): 超级传播现象
Σ(t): 时效平均传染期(effective mean infectious period)
Reff (t): 时效再生数(effective reproductive number)
r(t): 时效平均传染率(effective mean infection rate)
S(t), E(t), I(t): 它们分别是在时间点t时的处于易感染态/潜伏态/传染态的个体数.
F(t), G(t), R(t): 它们分别是在时间段[0, t]里已处于潜伏态/传染态/康净态的个体累积总数. 有如下关系:
E(t)= F(t) −G(t), I(t) = G(t) − R(t).
参考文献
[Hethcote2000] H.W. Hethcote, The mathematics of infectious diseases. SIAM Review 42 (2000), 599-654.
[Huang2008] S.-Z. Huang, A new SEIR epidemic model with applications to the theory of eradication and control of diseases, and to the calculation of R0, Math. Biosci.215 (2008), 84-104.
[Huang2016] S.-Z. Huang, A linear epidemic SEIR model and applications to contact networks, preprint.
[Huang2016b] S.-Z. Huang, EpiSIX: A Webapp for modeling epidemic spreading and estimating control efficacy.
[KM1927] W.O.Kermack, A.G.McKendrick, A contribution to the mathematical the[1]ory of epidemics, Proc. Roy. Soc. A 115 (1927) 700.
[WHO2003] www.who.int/csr/sars/country/en/
[WHO2014] WHO Ebola Response Team 2014: Ebola virus disease in West Africa The first 9 months of the epidemic and forward projections, The New England J. Med. Oct. 16, 2014, Vol.317, No.16.
[CDC2016] www.cdc.gov/vhf/ebola/outbreaks/2014-west-africa/
[杨维中等2010] 杨维中等(6人), 国家传染病自动预警系统的设计与应用,中华流行病学杂志 2010年11月第31卷第11期, 1240-1244.
[MZhW2004] 马知恩,周义仓,王稳地,靳祯等著,传染病动力学的数学建模与研究. 科学出版社2004.
[AM1991] Anderson, R.M., May, R.M., Infectious Diseases of Humans: Dynamics and Control. Oxford Univ. Press, Oxford, 1991.
[Murray1993] J.D.Murray, Mathematical Biology. 2nd Ed., Springer-Verlag 1993.
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